Fonction inverse - Définition et variations

Définition
On appelle fonction inverse la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).

Remarque
La valeur \(0\) est une valeur interdite de l'expression \(\dfrac{1}{x}\).

Propriété Sens de variations

La fonction inverse est strictement décroissante sur \(]-\infty~;~0[\) et sur \(]0~;~+\infty[\).

Démonstration

Soit \(a\) et \(b\) deux réels non nuls tels que \(\color{red}{a<b}\) , c'est-à-dire \(b-a>0\).
Soit \(f\) la fonction inverse.
On a \(f(a)=\dfrac{1}{a}\) et \(f(b)=\dfrac{1}{b}\).
Étudions le signe de la différence \(f(a)-f(b)\) :
\(f(a)-f(b)=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)
On raisonne par disjonction de cas :

• Si \(a\) et \(b\) sont strictement négatifs alors \(ab>0\) et, comme \(b-a>0\) (par hypothèse), le quotient \(\dfrac{b-a}{ab}\) est positif.
  
• Si \(a\) et \(b\) sont strictement positifs alors \(ab>0\) et comme \(b-a>0\) (par hypothèse), le  quotient \(\dfrac{b-a}{ab}\) est positif.
  

Donc dans les deux cas, le quotient \(\dfrac{b-a}{ab}\)  est positif d'où : \(f(a)-f(b)>0\), c'est-à-dire \(\color{red}{f(a)>f(b)}\). L'ordre est inversé.
La fonction inverse est donc strictement décroissante sur  \(]-\infty~;~0[\) et sur \(]0~;~+\infty[\).

Remarque

Alifa affirme que "la fonction inverse est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}^*\)". A-t-elle raison ?
Non, Alifa a tort. En effet, on définit la notion de croissance ou décroissance d'une fonction sur un intervalle. Or, \(\mathbb{R}^*\) n'est pas un intervalle.

Propriété Tableau de variations

Voici le tableau de variations de la fonction inverse :